Por Nazareno Júnior (profissional convidado)*

Este texto é referente à Provisão de Eventos Ocorridos e Não Avisados (PEONA). Mas dessa vez, dando uma ênfase maior nos aspectos metodológicos de cálculo, a fim de fornecer uma ideia geral para a sociedade como um todo de como esta provisão é estimada. Portanto, para um melhor entendimento, sugiro que leiam dois textos: PEONA – um contexto geral sobre esta provisão técnica atuarial e Operadoras de Planos de Saúde: cuidado com as provisões mal dimensionadas.

Antes de entrar no cerne da questão, cumpre-se mencionar que existem diversas outras metodologias de cálculo. Contudo, as que serão detalhadas a seguir, podemos arriscar dizer que são frequentemente estudadas há muito tempo pela literatura atuarial no ramo securitário.

Outro ponto de destaque é que essas mesmas metodologias não necessariamente serão as melhores a serem aplicadas. Tudo depende da realidade e dos dados da Operadora, principalmente pelo fato de que a ANS exige que a metodologia esteja consistente com a realidade. Nada mais coerente, não é mesmo?

Daí a minha motivação de explanar sobre os cálculos, sem nenhum prejuízo aos trabalhos praticados e oferecidos no mercado, uma vez que todos já sabem fazê-los (pelo menos imagino). Porém, o “pulo do gato”, o diferencial, está na expertise de análise de aplicação frente aos dados, ou seja, não basta somente calcular, tem que testar e adequar.

Cada caso é um caso! Esse assunto é muito sério!

Finalmente, ainda para esta contextualização inicial, reforço mais uma vez a importância dos controles internos referente ao processo de reconhecimento dos eventos.

Esse fator é primordial!

Feitas, então, essas considerações iniciais, vamos às metodologias.

Conhecendo os métodos

Aqui, farei referência a um que é bastante utilizado, o chamado Chain LadderIremos considerar que essa metodologia vai nos fornecer um valor único de PEONA no universo determinístico. É costumeiramente praticada no mercado, sendo que a cada mês se constitui ou se reverte na contabilidade com o lançamento do novo saldo com suas devidas oscilações mensais ao longo do tempo.

Na sequência, de posse do resultado estimado no Chain Ladder, utilizaremos como insumo para a outra metodologia, que é o Bootstrap. Nesta, diferentemente da anterior, serão fornecidos vários valores de PEONA conforme o número de iterações da simulação que determinaremos.

Ao final, teremos uma distribuição de probabilidades das PEONAs, que, conforme o apetite de risco, nos indicará qual o valor de capital necessário para suprir a volatilidade estudada.

A PEONA é a representação dos custos que irão chegar através de um caudal e, no conceito clássico, isso é uma variável aleatória com distribuição desconhecida. Então, como garantir que a estimativa da PEONA calculada de forma determinística é suficiente para cobrir os eventos que ainda não conhecemos?

Uma vantagem deste método (Bootstrap) é que não depende da distribuição original da estatística do parâmetro estudado. Ele realiza milhares de simulações, onde o valor da PEONA é recalculado através do método de reamostragem.

E não esqueçamos, quando realizamos uma análise estocástica, existem três tipos de risco que podem acarretar numa provisão diferente da verdadeira e desconhecida provisão PEONA, são eles: risco do parâmetro; risco do modelo e risco do processo. Portanto, muita atenção a isso!

Bootstrap − Estimando uma distribuição de probabilidades

Vou confessar uma coisa: na minha época de faculdade no final da década de 90, eu estudei disciplinas relacionadas às provisões e recordo-me que não entendia muito bem sua aplicabilidade. Apenas há mais ou menos 9 anos atrás, com o advento do tema PEONA, aliado à minha maturidade neste ramo da saúde suplementar, foi que elevei mais os estudos nesta temática.

Mas sempre sentia falta de modelos estocásticos para ela, sendo eu um verdadeiro apaixonado por simulação.

Assim, decidi estudar melhor esta temática influenciado inclusive pelas discussões preliminares que já tive com outros atuários da área de saúde suplementar e de seguradoras. Então, diante disso, fiz diversas buscas e encontrei alguns materiais na internet sobre o Bootstrap, além da ajuda de outros colegas atuários que já conheciam na prática este método.

Portanto, fruto de toda esta pesquisa e adaptação, neste texto, além de mostrar as etapas empregadas nas duas metodologias, ainda farei o serviço completo do compartilhamento. Disponibilizarei no final, uma planilha (simulador) para download, com todas as fórmulas e código do VBA aberto para estudos de quem tiver interesse neste assunto. Vamos clarear o mundo com essas ajudas mútuas.

Todos nós precisamos disso!

Minha paixão por simulação

Então, esta é a tela inicial da planilha (simulador):

planilha-simulacao-oestatistico

Assim que você abrir a planilha vai se deparar com a seguinte mensagem:

planilha-mensagem-oestatistico

Além disso, é importante mencionar que os dados constantes na planilha são hipotéticos.

Entendida a mensagem, vamos às partes da tela inicial. Ela é composta por 5 partes principais:

1. Simulação (Bootstrap)

Aqui você encontra a quantidade de iterações para a simulação; verifica ao final do processamento qual foi a convergência entre a média simulada e o valor determinístico; e o botão que ativa as iterações simulatórias.

2. PEONA Determinística

Aqui você enxerga o valor estimado da PEONA pelo método de Chain Ladder.

3. Estatísticas Descritivas da PEONA Estocástica

Aqui você encontra cinco informações frente ao vetor de valores encontrados conforme simulação. No caso, o Mínimo (Min), a Média (Méd), o Desvio Padrão (DP), o Máximo (Máx) e o Coeficiente de Variação (CV%).

4. Controle e Relatórios

Aqui você vai encontrar o coração da planilha, pois nela, além de outras informações, consta o preenchimento dos insumos necessários para todos os cálculos que irão te fornecer os resultados, quais sejam:

4.1. Alimentar a base do triângulo incremental

Ao apertar o botão você vai se deparar com a seguinte tela:

triangulo-oestatistico

Esse é o famoso triângulo de run-off (matrix 12 por 12). Já tinha ouvido falar nele? Esse é o start inicial que serve de insumo principal para todos os cálculos.

Os números que variam de 1 a 12 nas linhas são referentes ao Mês e Ano de ocorrência do evento. Já nas colunas que variam de 0 a 11 são referentes ao Mês e Ano de aviso do evento e também são chamados de “instantes”. O zero significa que todo o volume de custo foi avisado dentro do mesmo mês, isso, em outras palavras, quer dizer PEONA nula.

Imaginemos uma Operadora onde todos os custos fossem avisados dentro do mesmo mês. Ela não teria PEONA para ser contabilizada.

No entanto, isso, na prática, até onde eu sei, é inexistente. Principalmente quando se trata de internações que as guias possuem um delay natural para a composição da guia geradora final, renovável a cada 30 dias.

No sistema Unimed existe a figura do intercâmbio. Assim, para planos com abrangência nacional, por exemplo, os atendimentos eletivos de beneficiários realizados em outros estados, em outras Unimeds, vão ser cobrados e avisados com um delay maior à Unimed de origem, pois cada uma possui seu time de resposta.

Esses são apenas dois exemplos que acarretam maiores valores a partir do instante 1 e, consequentemente, um valor maior de PEONA. Em suma, o Chain Ladder vai se valer de dados do instante 1 em diante. Mais detalhes, repito: leia os outros dois textos citados no início.

Mas vendo, assim, os dados de custo assistencial na modalidade de preço preestabelecido, preenchidos de forma triangular, parece ser difícil. Como fazer isso?

Não se preocupe, eu elaborei uma outra planilha que mostra como montar essa matriz. A ideia é utilizar a diferença entre o Mês e Ano da Ocorrência (linhas) e o Mês e Ano do Aviso (colunas). Essa diferença vai te ajudar a concatenar com o index do Mês e Ano Aviso e, assim, criar uma chave primária, e através da função SOMASE (Excel), você consegue facilmente montar. Não tem mistério! Faça o download desta planilha.

4.2. Passo a passo do cálculo determinístico

Aqui será realizada a estimação por Chain Ladder. De posse do triângulo incremental preenchido acima, é preciso mais 3 etapas para o cálculo da PEONA. Pois a etapa 1, abaixo, nada mais é que uma cópia do item 4.1 acima.

  • Etapa 1 – Estruturar os dados em forma de Triângulo de Run-off (Mês e Ano Ocorrência / Mês e Ano de Aviso / valor avisado).
  • Etapa 2 – Acumular os valores do Triângulo Incremental da Etapa 1: é a soma dos custos de cada coluna até o final.
  • Etapa 3 – Calcular os Fatores de Desenvolvimento com base na Etapa 2: fatores de desenvolvimento nada mais são que representatividades dos custos de cada instante sobre o outro imediatamente anterior, para enxergar o aumento e ajudar na estimativa. Costumam dizer, e eu particularmente concordo, que o coração do cálculo está aqui, pois o(a) atuário(a) vai decidir por usar a média agregada ou aritmética ou ponderada, na série temporal total ou série temporal mais atual conforme cada caso. Pode ser repetitivo, mas não podemos negar a importância de reforçar, por “n” vezes, que tudo vai depender dos dados da Operadora e da expertise atuarial.
  • Etapa 4 – Calcular a PEONA: com base nos fatores de desenvolvimento acumulados conseguimos estimar a provisão.

4.3. Passo a passo do cálculo pelo Bootstrap

O método de Bootstrap simula a distribuição da provisão, projetando triângulos alternativos baseados na variabilidade inerente, presente no triângulo de desenvolvimento original. A partir de fatores de desenvolvimento selecionados em um triângulo de eventos avisados, a última diagonal é mantida e os valores anteriores são reestimados.

São calculados resíduos de Pearson pela diferença entre o triângulo real e o reestimado. Estes resíduos de Pearson são selecionados com reposição, de forma a gerar vários triângulos de resíduos. A partir de cada triângulo de resíduo gerado, é reconstruído o triângulo de eventos avisados, incluindo a estimativa dos eventos finais e a estimativa de reserva.

A distribuição gerada pelo método de Boostrap é empírica, baseada nas características de variabilidade do triângulo de run-off.

  • Etapa 5 – Reestimar o Triângulo Acumulado a partir dos Fatores de Desenvolvimento da Etapa 3, conservando a última diagonal.
  • Etapa 6 – A partir da Etapa 5 reestimar o Triângulo Incremental.
  • Etapa 7 – Calculando os Resíduos de Pearson: Para este cálculo se utiliza da seguinte formulação:

residuo-pearson-oestatistico

  • Etapa 8 – Com base na Etapa 7, cria-se uma simulação para escolher, com a mesma probabilidade, os Resíduos de Pearson.
  • Etapa 9 – Com base na simulação da Etapa 8, monta-se novamente o triângulo com os novos fatores de Pearson, escolhidos aleatoriamente.
  • Etapa 10 – Reestimar o Triângulo Incremental com Base nos Resíduos de Pearson Simulados (etapa 9), e no Triângulo Incremental Estimado (etapa 6): Para este cálculo se utiliza da seguinte formulação:

triangulo-residuo-oestatistico

Nesta etapa 10, cabe uma observação importante: como na etapa 7 existe uma subtração entre o valor original e o valor reestimado, então pode ser que tenhamos valores negativos. E, como não existe raiz quadrada de número negativo, a resposta para o valor reeditado será um erro, prejudicando assim a nova estimativa por Bootstrap. Contudo, não se preocupe com isso, pois a planilha o desconsidera para o cálculo final, se utilizando por tentativa e erro para formar um vetor de resultados consistentes.

  • Etapa 11 – Com base no Triângulo Incremental da Etapa 10, acumula os valores.
  • Etapa 12 – Calcular os Fatores de Desenvolvimento com base na Etapa 11.
  • Etapa 13 – Calcular a PEONA reestimada.

 

4.4. Vetor de valores gerados da PEONA

Nesta seção, você pode enxergar, de forma desordenada, o vetor de valores corretos (vide observação acima da etapa 10) das PEONAs reestimadas por Bootstrap.

Vetor desordenado: exemplo com 10 mil iterações:

vetor-simulacao-oestatistico

Vetor ordenado: mesmo exemplo com 10 mil iterações (a linha vermelha é a PEONA determinística):

vetor-ordenado-oestatistico

4.5. Distribuição de Probabilidade da PEONA Estocástica

Agora, você pode enxergar a curva da distribuição de probabilidades das PEONAs reestimadas pelo Bootstrap. No caso, o mesmo exemplo acima com 10 mil iterações e 100 blocos:

distribuicao-oestatistico

5. Valores de Capital Baseado em Risco

A partir de agora, você poderá visualizar os possíveis valores em conformidade ao apetite de risco da Operadora, condicionados ao Nível de Confiança (percentil) escolhido. Aqui, poderão ser enxergados tanto o VaR quanto o TVaR, ou seja, o valor em risco e a média dos valores em risco do percentil escolhido até o final da cauda da distribuição, respectivamente.

A diferença entre esses valores e a média da PEONA estocástica nos fornece um possível valor de ajuste para a PEONA determinística que serve como um capital que sustentaria a volatilidade desta provisão face a tudo o que foi discorrido até agora.

tvar-oestatistico

Download da planilha AQUI.

Considerações

É importante frisar, que o tempo de execução desta simulação depende muito dos dados, pois se forem gerados muitos números negativos (vide observação da etapa 10 acima), a planilha entrará em loop até que os valores corretos sejam coletados. Portanto, não se tem como mensurar o tempo médio.

Por fim, mais uma vez, quero intensificar aqui a ideia da utilização de modelos estocásticos na saúde suplementar, pois não podemos ter a pretensão de achar que estamos 100% certos de que um único valor determinístico será a melhor estimativa, mesmo diante do teste de consistência.

Quando estamos tratando de gestão de riscos e de um mercado altamente dinâmico, é interessante que esta tese venha a dar lugar aos estudos, incluindo, pelo menos, cenários.

Nem que seja apenas para se ter uma ideia da volatilidade para efeito, inclusive, de estudos futuros de solvência atrelados ao risco de subscrição.

Muito obrigado pela leitura, e vamos em frente!

Nota explicativa: o Bootstrap é uma técnica estatística não paramétrica computacionalmente intensiva de reamostragem, introduzida por EFRON (1979). A técnica tem como finalidade obter informações de características da distribuição de alguma variável aleatória. Para isto, aproxima-se uma distribuição de probabilidade através de uma função empírica obtida de uma amostra finita. Normalmente, esta técnica é empregada quando a distribuição de interesse é de difícil, ou até impossível, avaliação analítica ou quando só a teoria assintótica está disponível.

P.S: Se você quiser saber mais sobre o autor desse texto, e ter mais conhecimento de qualidade, clique AQUI.

* José Nazareno Maciel Júnior:

Atuário, membro do Instituto Brasileiro de Atuária (IBA), com MIBA nº 1.286. Mestre em Economia, possui pós-graduação em Administração Financeira e MBA em Finanças e Controle. Atua no segmento de Saúde Suplementar há 12 anos. Passando por consultoria e atualmente como atuário sênior e coordenador de informações estratégicas e atuariais da Unimed Fortaleza. É membro do Comitê Nacional dos Atuários do Sistema Unimed e membro da Comissão Permanente de Solvência da ANS pelo IBA – Operadoras Grande Porte. É também perito atuarial e palestrante.

Para conhecer mais do seu trabalho, entre em contato: nazareno_junior@hotmail.com, Facebook ou LinkedIn

Observação: Este texto é de autoria de Nazareno Júnior, e sua publicação no Blog “O Estatístico” foi autorizada pelo autor.

 


Fontes

Shapland, Mark R. “Bootstrap Modeling: Beyond the Basics”: http://bit.ly/2dB0ieF

Amplie seu conhecimento

Craiu, Radu V. “Efficient Bootstrap Resampling”: http://bit.ly/2emDO4b

Davison, A. C. ; Hinkley, D. V. “Bootstrap Methods and their Application”. Cambridge University Press, New York (USA), 1997, 582p: http://amzn.to/2ewV7eU

Efron, B.; Tibshirani, Robert J. “An introduction to the Bootstrap”. Chapman & Hall/CRC. Florida (USA), 1993, 436p: http://amzn.to/2ejVUSK

Efron, B. “The Jackknife, the Bootstrap, and Other Resampling Plans (CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics”. 1982: http://amzn.to/2ex007C

Jonhs, M. V. “Importance Sampling for Bootstrap Confidence Intervals”. M. Vernon Johns. Journal of the American Statistical Association, v. 83, n. 403, p. 709-714, 1988: http://bit.ly/2dq0y1H

Material usado

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